题干
证明：若$x>-1$, 则不等式
$$
(1+x)^n\ge1+nx\quad(n>1)
$$
为真, 当且仅当$x=0$时, 等式成立.
解答
基例
$n=2$时$(1+x)^2=+1+2x+x^2\ge 1+2x$
归纳假设
$n=k$时不等式成立.
$$
(1+x)^k\ge1+kx
$$
归纳推理
$$
\begin{aligned}
(1+x)^{k+1}&=(1+x)^k(1+x)\\
&\ge(1+kx)(1+x)\\
&=1+x+kx+kx^2\\
&=1+(1+k)x+kx^2\\
&\ge1+(1+k)x
\end{aligned}
$$
得证.
等式成立充要条件
以上不等式，当且仅当$x=0$时取等号。因此当且仅当$x=0$时等式成立。
