题干
使用数学归纳法证明如下等式：
$$
1+2+2^2+\dots+2^{n-1}=2^n-1
$$
解答
基例
$n=1$时$1=1$.
满足条件
归纳假设
设$n=k$时等式成立.
$$
1+2+2^2+\dots+2^{k-1}=2^k-1
$$
归纳步骤
$$
\begin{aligned}
1+2+2^2+\dots+2^{k-1}&=2^k-1\\
1+2+2^2+\dots+2^{k-1}+2^k&=2^k-1+2^k\\
&=2\times2^k-1\\
&=2^{k+1}-1
\end{aligned}
$$
得证.
Senghoo
