吉米多维奇0003

吉米多维奇0003

#吉米多维奇#数学分析#数学归纳法 2025-02-17

题干

使用数学归纳法证明如下等式：
$$
1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1+2+\dots+n)^2
$$

解答

基例

$n=1$时，$1^2=1^3$.

成立

归纳假设

设$n=k$时成立
$$
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = (1+2+\dots+k)^2
$$

归纳证明

$$
\begin{aligned}
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 &= (1+2+\dots+k)^2\\
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 &= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+ (k+1)^3\\
&=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+ \frac{4(k+1)^3}{4}\\
&=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}\\
&=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\
&=(1+2+\dots+k+(k+1))^2
\end{aligned}
$$

结果为$k+1$的右侧形式.

得证