吉米多维奇0002

吉米多维奇0002

#吉米多维奇#数学分析#数学归纳法 2025-02-17

题干

使用数学归纳法证明如下等式：
$$
1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

解答

验证基例

$n=1$时，左边为$1$ ,右边为$\frac{1(1+1)(1+2)}{6}=1$

$\therefore n=1$ 时成立.

归纳假设

假设$n=k\ge1$时成立.
$$
1^2 + 2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
$$

归纳证明

$$
\begin{aligned}
1^2+2^2+\dots+k^2&=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\
1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2&=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\
&=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\
&=\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}\\
&=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\
&=\frac{(k+1)[(2k+3)(k+2)]}{6}\\
&=\frac{(k+1)[2(k+1)+1)((k+1)+1)]}{6}\\
\end{aligned}
$$

最后表达式为$n=k+1$时的右侧表达式.

得证.